Question

14．已知M（4，2），N（-1，3）．
（1）在y轴上找点P，使得PM+PN最小，求出P点的坐标和此时的最小值；
（2）在x轴上找点Q，使得QM+QN最小，求出Q点的坐标和此时的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两点之间线段最短，进而求出直线MN的解析式，得出P点坐标即可；
（2）利用轴对称求最短路线求法得出直线M′N的解析式，进而利用勾股定理得出即可．

解答 解：（1）如图所示：连接MN，交y轴于点P，
则设直线MN的解析式为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{5}}\\{b=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
则直线MN的解析式为：y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{14}{5}$，则x=0时，y=$\frac{14}{5}$，故P（0，$\frac{14}{5}$），
PM+PN=MN=$\sqrt{{1}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{26}$；

（2）作M关于x轴对称点M′，连接NM′交x轴于点Q，
设直线M′N的解析式为：y=ax+c，则$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=-2}\\{-k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则直线M′N的解析式为：y=-x+2，则y=0时，x=2，故Q（2，0），
QM+QN=M′N=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．

点评 此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理，得出Q，P的位置是解题关键．