Question

12．如图1，已知菱形ABCD的三个顶点A，B，C在矩形EFGH的边上，P是EH上一点，连接HD，BP．
（1）当∠APB=∠AHD=∠BAD时，求证：PH=PB+HD；
（2）若EF=10，EH=12，FB=2，△AHD的面积能否等于2？为什么？
（3）如图2，分别连接CP，CH，当∠APB=∠AHD=∠BAD=120°时，△CPH是什么特殊的三角形（不需证明）？

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得到AB=AD，由等式的性质得到∠PAB=∠ADH，证得△ABP≌△DAH，得到AP=DH，AH=PB，由等量代换得到PH=AP+AH=PB+HD；
（2）如图1过点D作DP⊥EH交EH的延长线于点P，连接AC，构造全等三角形，证得DP=BF=2，由面积公式得到方程，推出边CF＞FG，所以△AHD的面积不能等于2；
（3）如图2连接AC，在菱形ABCD中，由菱形的性质得到边角关系，通过三角形全等，得出结论．

解答 解：（1）在菱形ABCD中，
∵AB=AD，
∴∠PAB=190°-∠BAD-∠DAH，
∠ADH=180°-∠AHD-∠DAH，
∴∠PAB=∠ADH，
在△ABP与△DAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠DHA}\\{∠PAB=∠ADH}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DAH，
∴AP=DH，AH=PB，
∴PH=AP+AH=PB+HD；

（2）如图1过点D作DP⊥EH交EH的延长线于点P，连接AC，
∵FG∥EH，
∴∠FCA=∠CAH，
∵BC∥AD，
∴∠BCA=∠DAC，
∴∠FBC=∠DAH，
在△FBC与△DAP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠D=90°}\\{∠FCB=∠DAH}\\{CB=AD}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△DAP，
∴DP=BF=2，
∴S_△AHD=$\frac{1}{2}$×2•AH=2，
∴AH=2，AE=10，
AB²=100+64=164，
∴BC²=164，
∴CF²=164-4=160＞FG²=144，
∴△AHD的面积不能等于2；

（3）如图2连接AC，
在菱形ABCD中，
∵∠BAD=120°，
∴∠CBA=∠CAB=∠CAD=60°，
∴BC=AC，
由（1）证得∠PBA=∠DAH，
∴∠CBP=∠CAH，
在△BCP与△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBP=∠CAH}\\{BP=AH}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△CAH，
∴PC=CH，∠BPC=∠CHA，
∠CPH=∠CHA=，
∴∠BPC=∠CPA=$\frac{1}{2}BPA$=60°，
∴△PCH是等边三角形．

点评 本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．