Question

20．意大利著名数学家芬波那在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数值起，每一个数都等于它前面两个数的和，现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：

两分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、…相应长方形的周长如表所示：

序号	①	②	③	④	…
周长	6	10	x	y	…

（1）仔细观察图形，表中的x=16，y=26；
（2）若按此规律继续拼成长方形，则序号为④的长方形周长是26（并写出简要的过程）
（3）以下①、②小题只需选做一小题，若两小题都写，则只按第①小题的解答给分．
①若按此规律拼长方形，已知序号为n的长方形的周长为a，序号为（n+1）的长方形的周长为b，则序号为（n+3）的长方形的周长为a+2b（用含a、b的代数式表示）
②若按此规律继续拼长方形，已知序号为n的长方形的长和宽分别为a、b（其中a＜b），则序号为（n+1）的长方形的周长是2a+4b（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

分析 结合图形分析表格中图形的周长，①的周长为：2×（1+2），②的周长为：2×（2+3），③的周长为：2×（3+5），④的周长为：2×（5+8），…由此可推出第n个长方形的宽为第n-1个长方形的长，第n个长方形的长为第n-1个长方形的长和宽的和，长方形的周长是前面两个长方形的周长和，由此规律解决问题即可．

解答 解：（1）由分析知：第①个长方形的周长为6=（1+2）×2；
第②个长方形的周长为10=（2+3）×2；
第③个长方形的周长为x=（3+5）×2=16；
第④个长方形的周长为y=（5+8）×2=26；
（2）若按此规律继续拼成长方形，则序号为④的长方形周长是（5+8）×2=26；
（3）①已知序号为n的长方形的周长为a，序号为（n+1）的长方形的周长为b，序号为（n+2）的长方形的周长为a+b，则序号为（n+3）的长方形的周长为b+a+b=a+2b；
②若按此规律继续拼长方形，已知序号为n的长方形的长和宽分别为a、b（其中a＜b），序号为n-1的长方形的长和宽分别为b-a、a（其中a＜b），则序号为（n+1）的长方形的周长是2（a+b）+2（b-a+a）=2a+4b．
故答案为：16，26；26；a+2b；2a+4b．

点评 此题考查图形的变化规律，要想得到长方形的周长规律，应先找长方形长、宽的变换规律．分析图形中的长和宽，然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律．