Question

5．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°．设经过t秒后，以P（0，3）为圆心，PC为半径的圆恰好与菱形OABC的边所在的直线相切，则t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1或$3\sqrt{3}-1$．

Answer 1

分析 分情况讨论①先由切线的性质得出∠OCP=90°，再由已知条件得出∠POC=30°，根据三角函数求出OC，由菱形性质得出OA=OC，即可得出t；②当∠OCP=30°时，圆与OA所在直线相切，同理求得t．

解答 解：∵当以P（0，3）为圆心，PC为半径的圆恰好与菱形OABC的边OC所在的直线相切，
∴∠OCP=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠POC=30°，
∴OC=OP•cos30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1；
同理当以P（0，3）为圆心，PC为半径的圆恰好与菱形OABC的边OA所在的直线相切时，求得t=$3\sqrt{3}-1$
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1或$3\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查了切线的性质、菱形的性质、坐标与图形性质以及锐角三角函数；运用三角函数求出菱形的边长是解决问题的关键．