Question

11．已知抛物线y=ax²-2ax-4与x轴交于点A、B（A左B右），与 y轴交于点C，△ABC的面积为12．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在x轴上方的抛物线上，且tan∠PAB=$\frac{1}{2}$，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过C作射线交线段AP于点E，使得tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，连结BE，求证：BE⊥BC．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线的解析式求出抛物线与y轴的交点和对称轴，再根据△ABC的面积求出AB，从而得出点A、B的坐标，最后把点A的坐标代入y=ax²-2ax-4计算即可；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，设PH=k，AH=2k，根据tan∠PAB=$\frac{1}{2}$，得出P点的坐标是（2k-2，k）（k＞0），再代入抛物线的解析式求出k，即可得出P的坐标；
（3）设AE交y轴于点D，先根据tan∠ACO=tan∠PAB，得出∠PAB=∠ACO，再根据∠ACO+∠OAC=90°，得出PA⊥AC，根据tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，得出∠ACE=∠OCB，根据B、C的坐标求出∠OCB=∠ACE=45°和BC的长，根据A、C的坐标得出AC和CE的长，从而证出$\frac{AC}{OC}$=$\frac{CE}{CB}$，再根据∠ACO=∠BCE，证出△ACO∽△EBC，得出∠EBC=∠AOC=90°，从而证出BE⊥BC．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax-4，
∴与y轴交点C（0，-4），对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴OC=4，
∵抛物线与x轴交于点A、B，且△ABC的面积为12，
∴AB=6，
∴点A（-2，0），B（4，0），
∵抛物线过点A，
∴0=4a+4a-4，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线表达式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）如图1，过P作PH⊥x轴于点H．
设PH=k，AH=2k，
∵tan∠PAB=$\frac{1}{2}$，
∴P点的坐标是（2k-2，k）（k＞0）．
∵点P在抛物线上，
∴k=$\frac{1}{2}$（2k-2）²-（2k-2）-4，
∴k=$\frac{7}{2}$，
∴点P的坐标是（5，$\frac{7}{2}$）；

（3）如图2，设AE交y轴于点D，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴tan∠ACO=$\frac{1}{2}$，
∵tan∠PAB=$\frac{1}{2}$，
∴∠PAB=∠ACO，
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠PAB+∠OAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵tan∠BCE=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACO=∠BCE，
∴∠ACE=∠OCB，
∵B（4，0），C（0，-4），
∴∠OCB=∠ACE=45°，BC=4$\sqrt{2}$，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴AO=2，OC=4，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴CE=2$\sqrt{10}$，
在△AOC和△EBC中，
$\frac{AC}{OC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{CE}{CB}$=$\frac{-2\sqrt{10}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{CE}{CB}$，
∵∠ACO=∠BCE，
∴△ACO∽△EBC，
∴∠EBC=∠AOC=90°，
∴BE⊥BC．

点评 此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，要注意k的取值范围．