Question

1．如图，在?ABCD中，AB⊥BD，AB=6，AD=3$\sqrt{13}$，将△BCD沿DB方向移动t个单位，得到△B′C′D′，连接AB′，C′D．
（1）求证：四边形AB′C′D是平行四边形；
（2）①当t=4时，四边形AB′C′D是矩形；
②当t=9时，四边形AB′C′D是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四边形的判定方法得出AD∥B′C′，AD=B′C′，求出即可；
（2）①利用矩形的判定方法得出∠B′AD=90°，即可得出答案；
②利用菱形的判定方法得出AB′=AD即可得出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵将△BCD沿DB方向移动t个单位，得到△B′C′D′，
∴BC∥B′C′，BC=B′C′，
∴AD∥B′C′，AD=B′C′，
∴四边形AB′C′D是平行四边形；

（2）解：①当t=4时，四边形AB′C′D是矩形；
理由：当BB′=4时，
∵AB=6，AD=3$\sqrt{13}$，
∴DB=9，
∴$\frac{AB}{BB′}$=$\frac{DB}{AB}$，
又∵∠ABB′=∠ABD，
∴△AB′B∽△DAB，
∴∠B′AB=∠ADB，
∴∠B′AB+∠BAD=90°，
故平行四边形AB′C′D是矩形；

②当t=9时，四边形AB′C′D是菱形．
理由：当AB′=AD时，即t=9时，四边形AB′C′D是菱形，
∵AB′=AD=3$\sqrt{13}$，
∴BB′=BD=9，
∵四边形AB′C′D是平行四边形，
∴四边形AB′C′D是菱形．
故答案为：①4；②9．

点评 此题主要考查了平行四边形、矩形、菱形的判定，正确把握相关判定方法是解题关键．