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    12．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．
    （1）如图，⊙O的半径为1，
    ①已知点A（1，1），直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；
    ②若点B关于⊙O的“视角”为60°，直接写出一个符合条件的B点坐标；
    （2）⊙C的半径为1，
    ①点C的坐标为（1，2），直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（-2$\sqrt{3}$+1，0），若直线l关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；
    ②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$关于⊙C的“视角”大于120°，直接写出圆心C的横坐标xC的取值范
    围．

    分析 （1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．点A关于⊙O的“视角”就是两条切线的夹角．∠MPN就是直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，根据对称性即可推出点B坐标．
    （2）①对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点，推出CP⊥直线l，则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图所示．作CH⊥x轴于点H，想办法求出点P坐标即可解决问题．②如图2中，当⊙C与直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，想办法求出点C坐标，如图3中，设直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$关于⊙C的“视角”为120°，求出此时的点C坐标，即可解决问题．

    解答 解：（1）①如图1中，过点A作⊙O的切线，切点分别为E、F．

    ∵A（1，1），⊙O的半径为1，
    ∴四边形AEOF是正方形，
    ∴点A关于⊙O的“视角”为∠EAF=90°，
    设直线y=2与y轴的交点为P，过点P作⊙O的切线，切点分别为M、N．
    在Rt△POM中，∵PO=2OM，
    ∴∠OPM=30°，同理∠OPA=30°，
    ∴∠MPN=60°，
    ∴直线y=2关于⊙O的“视角”为60°，
    故答案分别为90°，60°．

    ②由①可知，点P关于⊙O的“视角”为60°，
    ∴B（0，2），根据对称性点B得到坐标还可以为（2，0）或（-2，0）或（0，-2）（本题答案不唯一）

    （2）解：①如图1中，
    ∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点D（-2$\sqrt{3}$+1，0），
    ∴（-2$\sqrt{3}$+1）k+b=0，
    ∴b=2$\sqrt{3}$k-k，
    ∴直线l：y=kx+2$\sqrt{3}$k-k，
    对于⊙C外的点P，点P关于⊙C的“视角”为60°，
    则点P在以C为圆心，2为半径的圆上．
    又直线l关于⊙C的“视角”为60°，此时，点P是直线l上与圆心C的距离最短的点．
    ∴CP⊥直线l．
    则直线l是以C为圆心，2为半径的圆的一条切线，如图1所示．作CH⊥x轴于点H，

    ∴点H的坐标为（1，0），
    ∴DH=$2\sqrt{3}$．
    ∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，
    可求得点P的坐标（-$\sqrt{3}$+1，3）．
    ∴3=（-$\sqrt{3}$+1）k+2$\sqrt{3}$k-k，
    ∴k=$\sqrt{3}$．

    ②如图2中，当⊙C与直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$相切时，设切点为P，连接PC则PC⊥AP，

    ∵直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴的交点为A（-1，0），与y轴的交点为（0，$\sqrt{3}$），
    ∴tan∠BAO=$\frac{BC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
    ∴∠BAO=60°，
    ∵PC⊥AP，
    在Rt△APC中，PC=1，
    ∴AC=PC÷cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    ∴OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1，

    如图3中，设直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$关于⊙C的“视角”为120°，

    作CP⊥AB于P，PE、PF是⊙C的切线，E、F是切点，则∠CPE=60°，PC=CE÷sin60°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
    在Rt△APC中，AC=PC÷sin60°=$\frac{4}{3}$，
    ∴OC=$\frac{4}{3}$-1=$\frac{1}{3}$，
    ∴直线y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$关于⊙C的“视角”大于120°时，圆心C的横坐标xC的取值范围$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1＜xC＜$\frac{1}{3}$．

    点评 本题考查圆综合题、切线的性质、一次函数的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．

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