Question

已知关于x的二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0的两根是一个锐角的正弦和余弦，则m=

 

．

Answer 1

分析：设方程的二根为x₁，x₂，根据x的二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0的两根是一个锐角的正弦和余弦，则可知两根均为正数且x₁²+x₂²=1，再根据判别式及根与系数的关系即可求解．

解答：解：设方程的二根为x₁，x₂，
则

△=(2m-5)2-48(m+5)≥0 x1+x2= 2m-5 m+5 ＞0 x1•x2= 12 m+5 ＞0 x 2 1 + x 2 2 =( 2m-5 m+5 )2-2• 12 m+5 =1

∴

4m2-68m-215≥0 (2m-5)(m+5)＞0 m+5＞0 m2-18m-40=0

，
解之得，m=20或m=-2（舍去），
∴m=20，
故答案为：20．

点评：本题考查了根与系数的关系，难度适中，关键是正确利用方程两根是一个锐角的正弦和余弦得出两根均为正数且x₁²+x₂²=1．