Question

6．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，BC是⊙O的直径，⊙O的切线FD与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF∥BC；
（2）若AC=6，DE=5$\sqrt{2}$，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图1，根据切线性质得OD⊥FD，再根据圆周角定理由BC是⊙O的直径得∠BAC=90°，由三角形内心性质得AD平分∠BAC，则∠BAD=45°，接着再根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAC=90°，即OD⊥BO，于是利用平行线的判定即可得到DF∥BC；
（2）连结CD，OD，CE，作BH⊥DF于H，如图2，由（1）得∠1=∠5=45°，根据三角形内心性质得∠2=∠3，再由三角形外角性质得∠4=∠3+∠5=∠3+45°，所以∠4=∠DCE，则DC=DE=5$\sqrt{2}$，接着证明△BDC为等腰直角三角形得到BC=$\sqrt{2}$CD=10，然后证明△BFH∽△CBA，利用相似比即可计算出BF的长．

解答 （1）证明：连结OD，如图1，
∵FD为⊙O的切线，
∴OD⊥FD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=45°，
∴∠BOD=2∠BAC=90°，
∴OD⊥BO，
而OD⊥DF，
∴DF∥BC；
（2）解：连结CD，OD，CE，作BH⊥DF于H，如图2，
由（1）得∠1=∠5=45°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠2=∠3，
而∠4=∠3+∠5=∠3+45°，
∴∠4=∠2+∠1，即∠4=∠DCE，
∴DC=DE=5$\sqrt{2}$，
∵∠DBC=∠1=∠5=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$×5$\sqrt{2}$=10，
易得四边形BODH为矩形，则BH=OD=5，
∵DF∥BC，
∴∠F=∠ABC，
∴△BFH∽△CBA，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BH}{AC}$，即$\frac{BF}{10}$=$\frac{5}{6}$，
∴BF=$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理、三角形内心的性质和三角形相似的判定与性质．