Question

14．如图1，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过A作直线AM，且∠MAC=∠ABC．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）如图2，D是$\widehat{AC}$的中点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
①若AE=6，⊙O的半径为10，求cos∠AFE；
②若FG=$\sqrt{13}$，DG=4，GC=4，求BC长．

Answer 1

分析 （1）即证∠MAC+∠CAB=90°．因为AB为直径，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得证．
（2）①连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明△BDE≌△BDH和Rt△ADE≌Rt△CDH，得BE=BH，AE=CH，进而求得BC的长，根据∠ABC=∠AFE即可求得cos∠AFE的值．
②证明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD=∠CBD，证得FD=FG，即可求得HG，然后通过证得△FGH∽△BGC求得BG，根据勾股定理即可求得．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°．
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线．

（2）①连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH．
在△BDE和△BDH中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{∠ABD=∠DBC}\\{BD=BD}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△BDH．
∴BE=BH．
∵BE=AB-AE=20-6=14，
∴BH=14，
∵D是弧AC的中点，
∴AD=DC．
在Rt△ADE和Rt△CDH中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△CDH．
∴AE=CH=6．
∴BC=BH-CH=14-6=8，
∵∠ACB=90°DE⊥AB，∠BAC=∠EAF，
∴∠ABC=∠AFE，
∴cos∠AFE=cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$．
②解：如图，过点F作FH⊥DG于H，
∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB=90°；
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG．
∵DG=4，
∴GH=$\frac{1}{2}$DG=2，
∵∠C=∠FHG=90°，
∵∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC，
∴$\frac{GB}{GF}$=$\frac{GC}{GH}$，
即$\frac{GB}{\sqrt{13}}$=$\frac{4}{2}$，
∴GB=2$\sqrt{13}$，
在RT△BGC中，BC=$\sqrt{B{G}^{2}-G{C}^{2}}$=6．

点评 此题考查了切线的判定、等腰三角形的判定、三角形全等、三角形相似以及解直角三角形等知识点，综合性强；特别是最后一个问题构造全等三角形求解，难度较大．