Question

15．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD．
（1）求证：AC=BD．
（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，问，四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．
（3）若CE=1，DE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据圆心角、弧、弦的关系先由AB=CD判断$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，再得到$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，从而判断AC=BD；
（2）先证明四边形OFEG为矩形，连结OA、OD，如图，再根据垂径定理得到CF=DF，AG=BG，则利用CD=AB得到AG=DF，接着根据勾股定理计算OG=OF，然后根据正方形的判定方法可判断四边形OFEG是正方形；
（3）先计算出CD=4，从而得到CF=DF=2，EF=1，再利用正方形的性质得到OF=EF=1，然后根据勾股定理计算出OD即可．

解答 （1）证明：∵AB=CD，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$-$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$-$\widehat{BC}$，即$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴AC=BD；
（2）四边形OFEG是正方形．理由如下：
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，
∴∠AED=90°，∠OGE=90°，∠OFE=90°，
∴四边形OFEG为矩形，
连结OA、OD，如图，
∵OF⊥CD，OG⊥AB，
∴CF=DF，AG=BG，
而CD=AB，
∴AG=DF，
∵OG=$\sqrt{O{A}^{2}-A{G}^{2}}$，OF=$\sqrt{O{D}^{2}-D{F}^{2}}$，OA=OD，
∴OG=OF，
∴四边形OFEG是正方形；
（3）∵CE=1，DE=3，
∴CD=4，
∴CF=DF=2，
∴EF=CF-CE=2-1=1，
∵四边形OFEG是正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OFD中，OD=$\sqrt{O{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即⊙O的半径为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦的关系；掌握正方形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．