Question

如图，P为⊙O的直径EF延长线上一点，PA交⊙O于B、A两点，PC交⊙O于点D、C两点，且AB=CD，求证：
（1）∠1=∠2；
（2）PB=PD．

Answer 1

考点：垂径定理,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）过点O分别作OE⊥AB，OH⊥CD于点E、H，再根据HL定理得出△OEP≌△OHP，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据（1）中△OEP≌△OHP可知PE=PH，再由AB=CD可知BE=DH，故可得出结论．

解答：（1）证明：过点O分别作OE⊥AB，OH⊥CD于点E、H，
∵AB=CD，
∴OE=OH，
在Rt△OEP与Rt△OHP中，
∵

OE=OH OP=OP

，
∴△OEP≌△OHP（HL）．
∴∠1=∠2；

（2）证明：∵△OEP≌△OHP，
∴PE=PH．
∵AB=CD，OE⊥AB，OH⊥CD，
∴BE=DH，
∴PB=PD．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．