【题目】如图,已知抛物线y=﹣ x2+mx+n与x轴交于A (﹣2,0)、B两点,与y轴交于点C.抛物线对称轴为直线x=3,且对称轴与x轴交于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在线段BC上从点C开始向点B运动(点P不与点B、C重合),速度为每秒 个单位,设运动时间为t(单位:s),过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点F.求四边形CDBF的面积S关于t的函数关系式.
【答案】
(1)
∵抛物线对称轴为直线x=3,
∴﹣ ,
∴m= ,
把A(﹣2,0)代入y=﹣ x2+ x+n中,得n=4,
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4
(2)
易得B(8,0),C(0,4)
设直线BC:y=kx+b,(k≠0)
∴ ,
∴
∴直线BC:y=﹣ x+4,
设点P(p,﹣ p+4),
F(p,﹣ p2+ p+4),
∴ ,
∴S四边形CDBF=S△CDB+S△CBF
=
= ,
在Rt△BCO中,BC= =4 ,
如图,过点P作PG⊥y轴于点G,
∴PG∥OB
∴△PCG∽△BCO,
∴ ,
∴ ,
∴p=2t
∴S四边形CDBF=﹣4t2+16t+10
【解析】(1)根据对称轴和点A的坐标,直接求出抛物线解析式;(2)先确定出直线BC:y=﹣ x+4,设出点P坐标,表示出FP用面积的和,求出四边形CDBF的面积和点P的横坐标的关系,最后用相似三角形即可.
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【题目】如图,小山岗的斜坡AC的坡角α=45°,在与山脚C距离200米的D处,测得山顶A的仰角为26.6°,小山岗的高AB约为(结果取整数,参考数据:sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50)( )
A.164m
B.178m
C.200m
D.1618m
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【题目】若抛物线y=ax2+bx+c如图所示,下列四个结论:
①abc<0;②b﹣2a<0;③a﹣b+c<0;④b2﹣4ac>0.
其中正确结论的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,已知△ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD=5,CE=4,则⊙O的半径是( )
A.3
B.4
C.
D.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=5,AC=9,S△ABC= ,动点P从A点出发,沿射线AB方向以每秒5个单位的速度运动,动点Q从C点出发,以相同的速度在线段AC上由C向A运动,当Q点运动到A点时,P、Q两点同时停止运动,以PQ为边作正方形PQEF(P、Q、E、F按逆时针排序),以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.
(1)求tanA的值;
(2)设点P运动时间为t,正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,正方形PQEF的某个顶点(Q点除外)落在正方形QCGH的边上,请直接写出t的值.
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【题目】如图,Rt△AOB∽△DOC,∠AOB=∠COD=90°,M为OA的中点,OA=6,OB=8,将△COD绕O点旋转,连接AD,CB交于P点,连接MP,则MP的最大值( )
A.7
B.8
C.9
D.10
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与⊙A相交于点F.若 的长为 ,则图中阴影部分的面积为 .
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【题目】定义:如果一个 与 的函数图像经过平移后能与某反比例函数的图像重合,那么称这个函数是 与 的“反比例平移函数”.
例如: 的图像向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到 的图像,则 是 与 的“反比例平移函数”.
(1)若矩形的两边分别是2cm、3cm,当这两边分别增加 cm、 cm后,得到的新矩形的面积为8 ,求 与 的函数表达式,并判断这个函数是否为“反比例平移函数”.
(2)如图,在平面直角坐标系中,点O为原点,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0)、(0,3) .点D是OA的中点,连接OB、CD交于点E,“反比例平移函数” 的图像经过B、E两点.则这个“反比例平移函数”的表达式为;这个“反比例平移函数”的图像经过适当的变换与某一个反比例函数的图像重合,请写出这个反比例函数的表达式 .
(3)在(2)的条件下, 已知过线段BE中点的一条直线 交这个“反比例平移函数”图像于P、Q两点(P在Q的右侧),若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16,请求出点P的坐标.
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【题目】如图,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,且∠AEC=∠ODB.
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)当tan∠AEC= ,BC=8时,求OD的长.
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