Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，AB=6 ，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：BE=DF；
（2）当t=秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，

∴∠DCF=∠BCE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC=BC，

在△DCF和△BCE中，

∵ ，

∴△DCF≌△BCE（SAS），

∴DF=BE

（2）6 +6；12
（3）

解：∵CE=CF，

∴∠CEQ＜90°，

①当∠EQP=90°时，如图2①，

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°，

∵AB=CD=6 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=6，

∴t=6秒；

②当∠EPQ=90°时，如图2②，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，

∴EC与AC重合，

∴DE=6 ，

∴t=6 秒

（4）

解：y= t﹣12﹣ ，

如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，

由（1）知∠1=∠2，

又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，

∴∠DCE=∠GCF，

在△DCE和△GCF中，

∵ ，

∴△DCE≌△GCF（SAS），

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，∠1=∠2，

∴∠2=∠4，

∴GF∥CD，

又∵AH∥BN，

∴四边形CDMN是平行四边形，

∴MN=CD=6 ，

∵∠BCD=∠DCG，

∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，

∴CN=CG=CD=6 ，

∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，

∴GN=12，

∴GM=6 +12，

∵GF=DE=t，

∴FM=t﹣6 ﹣12，

∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，

∴FH= （t﹣6 ﹣12），

即y= t﹣12﹣

【解析】解：（2）如图1，

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6 ，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，
∴设AE′=x，则BE′=2x，
∴AB= x=6 ，
则AE′=6
∴DE′=6 +6，DF=BE′=12，
所以答案是：6 +6，12；
【考点精析】利用菱形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．