Question

3．如图，已知点A₁，A₂，…，A_n均在直线y=x-1上，点B₁，B₂，…，B_n均在双曲线y=-$\frac{1}{x}$ 上，并且满足：A₁B₁⊥x轴，B₁A₂⊥y轴，A₂B₂⊥x轴，B₂A₃⊥y轴，…，A_nB_n⊥x轴，B_nA_n+1⊥y轴，…，记点A_n的横坐标为a_n（n为正整数）．若a₁=-1，则a₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据a₁=-1，求出a₂=2，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=-1，a₅=2，…，所以a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，…，每3个数一个循环，分别是-1、2、$\frac{1}{2}$；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a₂₀₁₆是第几个循环的第几个数，进而求出它的值是多少即可．

解答 解：∵a₁=-1，
∴B₁的坐标是（-1，1），
∴A₂的坐标是（2，1），
即a₂=2，
∵a₂=2，
∴B₂的坐标是（2，-$\frac{1}{2}$），
∴A₃的坐标是（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
即a₃=$\frac{1}{2}$，
∵a₃=$\frac{1}{2}$，
∴B₃的坐标是（$\frac{1}{2}$，-2），
∴A₄的坐标是（-1，-2），
即a₄=-1，
∵a₄=-1，
∴B₄的坐标是（-1，1），
∴A₅的坐标是（2，1），
即a₅=2，
…，
∴a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，…，每3个数一个循环，分别是-1、2、$\frac{1}{2}$，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆是第672个循环的第3个数，
∴a₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 （1）此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
（2）此题还考查了一次函数图象上的点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-$\frac{b}{k}$，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．