Question

20．如图，在?ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′C，B′D，B′C交AD于点E．
（1）证明：B′D∥AC；  
（2）若∠B=45°，AB=$\sqrt{2}$，BC=3，求△AEC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行四边形的性质可证出∠DAC=∠ACB，根据翻折可得∠ACB′=∠ACB，进而可得∠DAC=∠ACB′，从而可得AE=CE，再证明B′E=DE，可得∠CB′D=∠ADB′，从而可得∠ADB′=∠DAC，进而可得B′D∥AC；
（2）作AF⊥BC于F，作CG⊥AD于G，根据三角函数值可得AF=BF=1，CG=DG=1，然后可得AG=2，设AE=CE=x，则EG=2-x，利用勾股定理可计算出x的值，然后计算△AEC的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD，
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC；

（2）作AF⊥BC于F，作CG⊥AD于G，
∵∠B=45°，AB=$\sqrt{2}$，
∴AF=BF=1，CG=DG=1，
∵BC=3，
∴AG=2，
设AE=CE=x，则EG=2-x，
∵CG²+EG²=CE²，
∴1²+（2-x）²=x²，解得x=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{4}$，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{2}$AE•CG=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$×1=$\frac{5}{8}$，

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．