Question

如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．

（1）求证：AE=CD；
（2）△DBC能否由△ABE绕点B点按顺时针方向旋转而得到？若能，指出旋转度数；（不用写过程，直接写结果）
（3）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）要求AE=CD，可把两条线段放在△ABE，△DBC中，利用SAS证明两个三角形全等即可；
（2）△DBC能由△ABE绕点B点按顺时针方向旋转而得到，根据等边三角形的内角为60°，得到∠ABD为60°，即可确定出旋转度数为60°；
（3）△BMN的形状为等边三角形，理由为：在（1）的基础上，通过三角形的全等，得到一对角相等，再由M与N分别AE、CD的中点，得到AM=DN，以及AB=BD，利用SAS可证明三角形ABE与三角形DBN全等，由全等三角形的对应角相等，对应边相等，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得出△BMN为等边三角形．

解答：解：（1）证明：∵△ABD、△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中

AB=BD ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=CD；
（2）∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
则△DBC能由△ABE绕点B点按顺时针方向旋转而得到，旋转度数为60°；
（3）△MBN是等边三角形，理由为：
证明：∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
∵AE=CD，M、N分别是AE、CD的中点，
∴AM=DN，
在△ABM和△DBN中

AM=DN ∠BAE=∠BDC AB=DB

，
∴△ABM≌△DBN（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN，
∴∠DBM+∠DBN=∠DBM+∠ABM=∠ABD=60°．
∴△MBN是等边三角形．

点评：此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．