Question

2．如图，⊙O的直径AB=12cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD．
（1）求证：点P为$\widehat{BD}$的中点；
（2）若∠C=∠D，求四边形BCPD的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OP，根据切线的性质得到PC⊥OP，根据平行线的性质得到BD⊥OP，根据垂径定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠POB=2∠D，根据三角形的内角和得到∠C=30°，推出四边形BCPD是平行四边形，于是得到结论．

解答 （1）证明：连接OP，
∵CP与⊙O相切于点P，
∴PC⊥OP，
∴∠OPC=90度，
∵BD∥CP，
∴∠OEP=OPC=90度，
∴BD⊥OP，
∴点P为$\widehat{BD}$的中点．

（2）解：∵∠C=∠D，
∵∠POB=2∠D，
∴∠POB=2∠C，
∵∠CPO=90°，
∴∠C=30°，
∵BD∥CP，
∴∠C=∠DBA，
∴∠D=∠DBA，
∴BC∥PD，
∴四边形BCPD是平行四边形，
∵PO=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴PC=6$\sqrt{3}$，
∵∠ABD=∠C=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴PE=3，
∴四边形BCPD的面积=PC•PE=6$\sqrt{3}$×3=18$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质，垂径定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．