Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G．有如下结论：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN= ；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点，H是BN的中点，则PN+PH的最小值是 ．
其中正确结论的序号是 ．

Answer 1

【答案】①④⑤
【解析】解：如图1，连接AN，

∵EF垂直平分AB，

∴AN=BN，

根据折叠的性质，可得

AB=BN，

∴AN=AB=BN．

∴△ABN为等边三角形．

∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°，

即结论①正确；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，

∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°，

∴AM= ，

即结论②不正确．

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线，

∴QN= BG；

∵BG=BM= ，

∴QN= ，

即结论③不正确．

∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，

∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°，

∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°，

∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，

∴△BMG为等边三角形，

即结论④正确．

∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，

∴BN⊥MG，∴BN=BGsin60°= ，

根据条件易知E点和H点关于BM对称，∴PH=PE，

∴P与Q重合时，PN+PH的值最小，此时PN+PH=PN+PE=EN，

∵EN= = ，

∴PN+PH= ，

∴PN+PH的最小值是 ，

即结论⑤正确．

所以答案是：①④⑤．

【考点精析】关于本题考查的轴对称-最短路线问题，需要了解已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径才能得出正确答案．