Question

17、若n是自然数且不是4的倍数，求证：1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．

Answer 1

分析：设a=1ⁿ，b=2ⁿ，c=3ⁿ，d=4ⁿ，因为n不是4的倍数，将n分为n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3三种情况，分别求出每一种情况下a、b、c、d的个位数，再求a+b+c+d的个位数，如果个位数为0，则能被10整除．

解答：证明：设a=1ⁿ，b=2ⁿ，c=3ⁿ，d=4ⁿ，因为n不是4的倍数，可设n=4k+1，n=4k+2和n=4k+3．
（1）当n=4k+1时，a=1^4k+1=1，b=2^4k+1=2•（2⁴）^k=2•（16）^k，
因为无论k为什么整数，（16）^k的个位数都是6，则2•（16）^k的个位数必为2，
c=3^4k+1=3•（81）^k，因为（81）^k的个位数都是1，则3•（81）^k的个位数必为3，
同理d=4^4k+1的个位数是4，故当n=4k+1时，a+b+c+d的个位数是1+2+3+4的个位数，即0，
所以能被10整除；
（2）当n=4k+2时，a=1^4k+2=1，b=2^4k+2=4•（2⁴）^k=4•（16）^k，
因为无论k为什么整数，（16）^k的个位数都是6，则4•（16）^k的个位数必为4，
c=3^4k+2=9•（81）^k，因为（81）^k的个位数都是1，则9•（81）^k的个位数必为9，
同理d=4^4k+2的个位数是6，故当n=4k+2时，a+b+c+d的个位数是1+4+9+6的个位数，即0，
所以能被10整除；
（3）当n=4k+3时，a=1^4k+3=1，b=2^4k+3=8•（2⁴）^k=8•（16）^k，
因为无论k为什么整数，（16）^k的个位数都是6，则8•（16）^k的个位数必为8，
c=3^4k+3=27•（81）^k，因为（81）^k的个位数都是1，则27•（81）^k的个位数必为7，
同理d=4^4k+3的个位数是4，故当n=4k+3时，a+b+c+d的个位数是1+8+7+4的个位数，即0，
所以能被10整除；
综上所述，当n不是4的倍数时，1ⁿ+2ⁿ+3ⁿ+4ⁿ能被10整除．

点评：本题考查了数的整除性．当n不是4的倍数时，其余数是1，2，3，再分别求出a，b，cd的个位数及a+b+c+d的个位数．