Question

8．已知，如图，分别以△ABC的边AC，AB为边的三角形作正方形ACDE、BAFG．
（1）求证：EB=FC；
（2）求证：FC⊥EB．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“边角边”证明△ABE和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得EB=CF；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACF，连接CE，设EB、CF相交于O，然后求出∠OEC+∠OCE=90°，再求出∠COE=90°，然后根据垂直的定义即可得证．

解答 证明：（1）∵四边形ACDE、BAFG都是正方形，
∴AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴EB=FC；

（2）∵△ABE≌△AFC，
∴∠AEB=∠ACF，
连接CE，设EB、CF相交于O，
则∠OEC+∠OCE=∠OEC+∠ACE+∠BEA=∠ACE+∠AEC=90°，
在△OCE中，∠COE=180°-（∠OEC+∠OCE）=180°-90°=90°，
∴EB⊥FC．

点评 本题考查了正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角；全等三角形的判定与性质，求出∠BAE=∠CAF是证明三角形全等的关键．