Question

16．如图，长为10的线段AB的端点分别在x轴，y轴的正半轴上滑动（线段AB的长保持不变），⊙O与线段AB相切，则⊙O面积的最大值是（　　）

• A． 100π
• B． 25π
• C． 22π
• D． 20π

Answer 1

分析 过O作OC⊥AB于C，设A（a，0），B（0，b），由⊙O与线段AB相切，确定OC=⊙O的半径r，根据a²+b²-2ab≥0，得到$ab≤\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，当ab=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$时，r=$\frac{ab}{10}$最大，即r_最大=$\frac{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}{10}$=5时，即可得到S_最大=πr²=25π．

解答 解：过O作OC⊥AB于C，
设A（a，0），B（0，b），
∵⊙O与线段AB相切，
∴OC=⊙O的半径r，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OB=\frac{1}{2}AB•OC$，
∴r=$\frac{ab}{10}$，
∵a²+b²-2ab≥0，
∴$ab≤\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，
∴当ab=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$时，
r=$\frac{ab}{10}$最大，
即r_最大=$\frac{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}{10}$=5时，
S_最大=πr²=25π，
故选B．

点评 本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，圆的面积，最大值问题，解答本题的关键是利用a²+b²-2ab≥0，这一重要不等关系．