Question

（12分）如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；

（3）如图2，连接OD交AC于点G，若=，求sin∠E的值．

Answer 1

（1）证明见解析 （2） （3）

【解析】

试题分析：（1）要证明AC平分∠DAB证∠1=∠2即可，连结OC，∠1=∠3，因此只需证明OC∥AD即可；（2）在Rt△OCE中，根据条件可证∠COE=60°，然后在Rt△OCF中，利用特殊角的三角函数可求得CF=OF=；（3）连结OC，根据条件可证△OCG∽△DAG，△ECO∽△EDA，然后利用对应边成比例可得==，从而可得出OE=3OC，然后根据三角函数的概念计算即可.

试题解析：【解析】
（1）证明：连结OC，如图1，

∵DE与⊙O切于点C，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴OC∥AD，

∴∠2=∠3，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

即AC平分∠DAB；

（2）【解析】
如图1，

∵直径AB=4，B为OE的中点，

∴OB=BE=2，OC=2，

在Rt△OCE中，OE=2OC，

∴∠OEC=30°，

∴∠COE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠OFC=90°，

∴∠OCF=30°，

∴OF=OC=1，

CF=OF=；

（3）【解析】
连结OC，如图2，

∵OC∥AD，

∴△OCG∽△DAG，

∴==，

∵OC∥AD，

∴△ECO∽△EDA，

∴==，

设⊙O的半径为R，OE=x，

∴=，

解得OE=3R，

在Rt△OCE中，sin∠E===．

考点：1.圆的切线的性质；2.解直角三角形；3.相似三角形的判定与性质；4.锐角三角函数.

考点分析： 考点1：圆 圆，圆的有关性质与圆的有关计算是近几年各地中考命题的重点内容。题型以填空题，选择题和解答题为主，也有以阅读理解，条件开放，结论开放探索题作为新的题型，分值一般是6-12分，难易度为中，考察内容：①圆的有关性质的应用。垂径定理是重点。② 直线和圆，圆和圆的位置关系的判定及应用。③弧长，扇形面积，圆柱，圆锥的侧面积和全面积的计算④圆与相似三角形，三角函数的综合运用以及有关的开放题，探索题。突破方法：①熟练掌握圆的有关行政，掌握求线段，角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化。②理解直线和原的三种位置关系，掌握切线的性质和判定的歌，会根据条件解决圆中的动态问题。③掌握有两圆半径的和或差与圆心距的大小关系来盘底的那个两个圆的位置关系，对中考试题中常出现的阅读理解题，探索题，要灵活运用圆的有关性质，进行合理推理与计算。④掌握弧长，扇形面积计算公式。⑤理解圆柱，圆锥的侧面展开图⑥对组合图形 的计算要灵活运用计算方法解题。 考点2：解直角三角形 （1）解直角三角形的定义
     在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
     ①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；
     ②三边之间的关系：a²+b²=c²；
     ③边角之间的关系：
sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 试题属性

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