Question

【题目】在平面直角坐标系中，BC∥OA，BC＝3，OA＝6，AB＝3．

（1）直接写出点B的坐标；

（2）已知D、E（2，4）分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；

（3）在（2）的条件下，点M是直线DE上的一点，在x轴上方是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3，6）；（2）y＝﹣x+5；（3）见解析.

【解析】

（1）过B作BG⊥OA于点G，在Rt△ABG中，利用勾股定理可求得BG的长，则可求得B点坐标；
（2）由条件可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线DE的解析式；
（3）当OD为边时，则MO=OD=5或MD=OD=5，可求得M点坐标，由MN∥OD，且MN=OD可求得N点坐标；当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，则可求得M、N的纵坐标，则可求得M的坐标，利用对称性可求得N点坐标．

解：（1）如图1，过B作BG⊥OA于点G，

∵BC＝3，OA＝6，

∴AG＝OA﹣OG＝OA﹣BC＝6﹣3＝3，

在Rt△ABG中，由勾股定理可得AB2＝AG2+BG2，即（3）2＝32+BG2，解得BG＝6，

∴OC＝6，

∴B（3，6）；

（2）由OD＝5可知D（0，5），

设直线DE的解析式是y＝kx+b

把D（0，5）E（2，4）代入得，解得：，

∴直线DE的解析式是y＝﹣x+5；

（3）当OD为菱形的边时，则MN＝OD＝5，且MN∥OD，

∵M在直线DE上，

∴设M（t，﹣ t+5），

①当点N在点M上方时，如图2，则有OM＝MN，

∵OM2＝t2+（﹣t+5）2，

∴t2+（﹣t+5）2＝52，解得t＝0或t＝4，

当t＝0时，M与D重合，舍去，

∴M（4，3），

∴N（4，8）；

②当点N在点M下方时，如图3，则有MD＝OD＝5，

∴t2+（﹣t+5﹣5）2＝52，解得t＝2或t＝﹣2，

当t＝2时，N点在x轴下方，不符合题意，舍去，

∴M（﹣2， +5），

∴N（﹣2，）；

当OD为对角线时，则MN垂直平分OD，

∴点M在直线y＝2.5上，

在y＝﹣x+5中，令y＝2.5可得x＝5，

∴M（5，2.5），

∵M、N关于y轴对称，

∴N（﹣5，2.5），

综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（4，8）或（﹣5，2.5）或（﹣2，）．