Question

14．如图，二次函数y=-2x²+4x的顶点为M，一次函数y=x与抛物线分别交于O，N两点，抛物线上有一动点P，直线ON上一动点Q
（1）请分别求出点M，N的坐标；
（2）P、Q、M、N四点能否构成以MN为边的平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由；
（3）过Q、M、N三点作⊙E，当点Q从点O运动到点N时，圆心E运动路径长度为$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）利用配方法或顶点坐标公式可求顶点坐标，利用方程组可求点N坐标．
（2）存在．过点M作MP∥ON，过点P作PQ∥MN，则四边形MNQP是平行四边形．求出直线PM的解析式，利用方程组即可求出点P的坐标，再根据对称性，求出P′、P″的坐标即可．
（3）如图，连接OM，当点Q从点O运动到点N时，圆心E运动路径是线段E′E″，易知E′E″是△MON是中位线，求出ON的长即可解决问题．

解答 解：（1）∵y=-2x²+4x=-2（（x-1）²+2，
∴顶点M坐标（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（2）存在．理由如下，
过点M作MP∥ON，过点P作PQ∥MN，则四边形MNQP是平行四边形．
∵PM∥ON，
∴直线PM的解析式为y=x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
直线PM与y轴的交点为H（0，1），点H关于原点的对称点K（0，-1），过点K平行ON的直线为y=x-1，直线y=x-1与抛物线的交点P′、P″也满足条件．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-2{x}^{2}+4x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{17}-1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{17}-1}{4}}\end{array}\right.$，
∴P′（$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$），P″（$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{\sqrt{17}-1}{4}$）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{4}$，$\frac{-\sqrt{17}-1}{4}$）．

（3）如图，连接OM，
∵M（1，2），N（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，ON=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴OM²=5，MN²+ON²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=5，
∴OM²=MN²+ON²，
∴∠MNO=90°，
∴△MNQ的外接圆的圆心是线段MQ的中点，
∴当点Q从点O运动到点N时，圆心E运动路径是线段E′E″，易知E′E″是△MON是中位线，
∵ON=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴E′E″=$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$，
故答为$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二次函数综合题、两直线平行k相同、平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第三个问题的关键是证明∠MNO=90°，确定点E的轨迹是△MON的中位线，属于中考压轴题．