Question

探究与发现：
平面内，四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，BC与AD相交于点O．
（1）如图1，若∠B=24°，∠D=42°，∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M，求∠M的度数；
（2）如图2，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=

1

3

∠BAD，∠BCM=

1

3

∠BCD，求∠M的度数；
（3）如图3，设∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=

1

n

∠BAD，∠BCM=

1

n

∠BCD，用含n、x、y的代数式表示∠M的度数（直接写答案）．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据题意，设∠COD=x°，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度数，即∠CPM的度数，在△CPM中，利用三角形的内角和定理，即可求∠M．
（2）根据题意，设∠COD=x°，根据三角形的内角和定理以及∠BAM=

1

3

∠BAD，∠BCM=

1

3

∠BCD可以利用x表示出∠BCM的值，以及∠APB的度数，即∠CPM的度数，在△CPM中，利用三角形的内角和定理，即可求∠M．
（3）同理求出∠M．

解答：（1）：如图1，设∠COD=x°，则∠AOB=∠COD=x°，
△COD中∠BCD=180°-∠ADC-∠COD=180°-42°-x=138°-x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM=

1

2

∠BCD=69°-

1

2

x，
同理：∠BAM=∠MAD=78°-

1

2

x，
在△ABP中利用三角形内角和定理得到
∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
则∠CPM=∠APB=180°-24°-（78°-

1

2

x）=78°+

1

2

x，
在△CPM中三内角的和是180°，
即：（69°-

1

2

x）+（78°+

1

2

x）+∠AMC=180°，
则∠AMC=33°；
（2）如图2：设∠COD=x°，则∠AOB=∠COD=x°，
△COD中∠BCD=180°-∠ADC-∠COD=180°-32°-x=148°-x，
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM=

1

3

∠BCD=

148°

3

-

1

3

x，
同理：∠BAM=∠MAD=

130°

3

-

1

3

x，
在△ABP中利用三角形内角和定理得到
∠APB=180°-50°-（

130°

3

-

1

3

x）=

260°

3

+

1

3

x，
则∠CPM=∠APB=180°-50°-（

130°

3

-

1

3

x）=

260°

3

+

1

3

x，
在△CPM中三内角的和是180°，
即：（

148°

3

-

1

3

x）+（

260°

3

+

1

3

x）+∠AMC=180°，
136°+∠AMC=180°
所以∠M=44°．
（3）
∠M=∠B+

1

n

（∠BAD-∠BCD）=∠B+

1

n

（∠D-∠B）=x+

1

n

（y-x）=

n-1

n

x+

1

n

y

点评：在解题过程中如果需要一个量的值时，可以先把它设出，在解题过程中用所设的未知数表示，设的量可能也不需求出．