Question

4．已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在AB上（不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连结EF，M为EF的中点，则CM的最小值为1.2．

Answer 1

分析 连接CP，利用勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，判断出四边形CFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CP，再根据垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，则CM最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．

解答 解：如图，连接CP．
∵AC=3，BC=4，AB=5
∴∠ACB=90°，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFPE是矩形，
∴EF=CP，
由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，则CM最小，
此时，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CP，
即$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×5•CP，
解得CP=2.4．
∴EF=2.4，
∵M为EF中点，
∴CM=1.2
故答案为：1.2．

点评 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理逆定理，判断出CP⊥AB时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．