Question

如图，AC、BD为⊙O的两条弦，且AC⊥BD，⊙O的半径为

1

2

，则AB²+CD²的值为

 

．

Answer 1

考点：圆周角定理,勾股定理

专题：计算题

分析：作直径AE，连结CE、BE，根据圆周角定理由AE为直径得到∠ACE=90°，∠ABE=90°，而AC⊥BD，所以BD∥CE，所以BE弧=DC弧，则得到BE=CD，
在Rt△ABE中，利用勾股定理得AB²+BE²=AE²=1，于是有AB²+CD²=1．

解答：解：作直径AE，连结CE、BE，如图，
∵AE为直径，
∴∠ACE=90°，即CE⊥AC，∠ABE=90°，
∵AC⊥BD，
∴BD∥CE，
∴BE弧=DC弧，
∴BE=CD，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²=1²=1，
∴AB²+CD²=1．
故答案为1．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理．