Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC，BC交于点E，F． 过点F作⊙O的切线交AB于点M．

(1)求证：MF⊥AB；

(2)若⊙O的直径是6，填空：

①连接OF，OM，当FM= 时，四边形OMBF是平行四边形；

②连接DE，DF，当AC= 时，四边形CEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①（2）3；②．

【解析】

(1)连接OF，则OF=OC，得出∠OCF=∠OFC，由CD是斜边AB上的中线得出CD=BD=AB，则∠OCF=∠B，推出∠ONF=∠B，得出OF∥AB，又由OF⊥FM，得出AB⊥FM，即可得出结论；

(2)①由四边形OMBF是平行四边形，可以得到MB=OF=3，且DB=DC=6，进一步得到DM=DB-MB=6-3=3，此时M是DB中点，进而得到FM为△BCD的中位线，得到FM∥CD，由FM⊥AB，得到此时CD⊥AB，此时四边形FODM为矩形，FM=OD=3即可.

②连接ED，当四边形CEDF为正方形时可以得出∠ECD=∠CDE=45°，进一步求出CE的长，由DA=DC，可以得到△DAC为等腰三角形，由“三线合一”得出AC=2CE即可求解.

（1）连接OF，

∵CD是直角△ABC斜边的中线，

∴CD=BD，

∴∠DCB=∠B，

∵OC=OF，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠OFC=∠B，

∴OF∥BD，

∵FM是圆O的切线，

∴∠OFM=90°，

∴∠FMB=90°，即FM⊥AB；

(2)①如下图所示，连接OF,OM：

∵四边形OMBF为平行四边形

∴OF=MB=3

又CD=BD=6

∴DM=BD-MB=6-3=3，即M为DB的中点

∴FM为△CDB的中位线

∴FM∥CD

又FM⊥DB

∴CD⊥DB

且∠OFM=90°=∠FOD

∴四边形FODM为矩形

∴FM=OD=3

故答案为：3.

②连接DE和DF，如下图所示：

∵CD为圆O的直径，∴∠CED=90°，∠CFD=90°

且∠ACB=90°

∴四边形CEDF为矩形

当四边形CEDF为正方形时，有∠CED=∠CDE=45°

∴△CED为等腰直角三角形，其三边之比为：，且CD=6

∴CE=CD=

又DC=DA

∴△ACD为等腰三角形

由等腰三角形的“三线合一”性质知：

AC=2CE=

故答案为：