Question

如图，P为正方形ABCD边BC上一点，F在AP上，AF=AD，EF⊥AP于F交CD于点E，G为CB延长线上一点，且BG=DE．
（1）求证：∠BAG=

1

2

∠DAP；
（2）若DE=3，AD=5，求AP的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接AE，由正方形的性质及其条件可以得出△ABG≌△ADE，就有∠BAG=∠DAE，再证明Rt△AFE≌Rt△ADE就可以得出结论；
（2）由条件可以得出∠GAP=∠BAE，进而可以得出∠GAP=∠BGA，在Rt△ABP中，由勾股定理就可以得出结论．

解答：（1）证明：连接AE
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠ABG=∠ADC=90°．
在△ABG和△ADE中

AB=AD ∠ABG=∠ADC BG=DE

∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE．
在Rt△AFE和Rt△ADE中，

AF=AD AE=AE

，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG=∠DAE=

1

2

∠DAP；

（2）解：∵∠BAG=∠DAE=∠FAE，
∴∠BAG+∠BAP=∠FAE+∠BAP，
∴∠GAP=∠BAE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠GAP=∠DEA．
∵△ABG≌△ADE，
∴∠BGA=∠DEA，BG=DE，
∴∠GAP=∠BGA，
∴AP=GP
设AP=x，则GP=x，BP=GP-BG=x-3
在Rt△BAP中AB²+BP²=AP²，
∴5²+（x-3）²=x²，
解得：x=

17

3

，
答：AP的长为

17

3

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的判定与性质的运用，解答时运用勾股定理求值和证明三角形全等是关键．