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【题目】如图,抛物线 的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,线段OD=OC.

(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点M,使得△CDM是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,连接QE.若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点的移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:设抛物线的解析式为
将C(0,1)代入得:
解得: ,
∴抛物线的解析式为:
(2)解: ①如图1,当点C为直角顶点时,

∵点C的坐标为(0,1),
∴OD=OC=1,
∴点D的坐标为(1,0),
设直线CD为 ,则: ,解答
∴直线CD的解析式为:
∵此时CM⊥CD,
∴CM的解析式为:
由: ,解得:
∵点(0,1)与点C重合,
∴点M的坐标为(2,3),此时点M与点Q重合;
②如图②,当D为直角顶点时,由①可得直线DM的解析式为

由: ,解得:
∴点M的坐标为为
综上所述,符合题意的M有三点,分别是(2 , 3 ), .
(3)解:存在.如图③所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.

如答图④所示,连接C′E,

由(2)可知,QC⊥CD, 由题意可得:QC=QE,
∵∠DCE=45°,
∴∠QCE=45°=∠QEC,
∴△QCE是等腰直角三角形,
∵C,C′关于直线QE对称,
∴△QC′E为等腰直角三角形,
∴△CEC′为等腰直角三角形,
∵在抛物线 中,由 解得
∴点E的坐标为(4,1),
∴CE=4=C′E,
∴点C′的坐标为(4,5);
∵C,C″关于x轴对称,
∴点C″的坐标为(0,﹣1).
∴OC″=1,
过点C′作C′N⊥y轴于点N,则NC′=CE=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:C′C″=
综上所述,在P点和F点移动过程中,△PCF的周长存在最小值,最小值为
【解析】(1)解析式可设为顶点式,再把C(0,1)代入解析式即可;(2)以CD为直角边的直角三角形分为两类,分别以C、D为直角顶点,可过C、D分别作CD的垂线,与抛物线相交,联立直线和抛物线解析式组成方程组,可求出M坐标;(3)可利用对称法作出C关于定直线QE的对称点C',关于y轴对称点为C",把△PCF的周长转化为FC"+FP+PC',当C"、F、P、C'四点共线时,周长最小.

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