【题目】如图,抛物线 的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,线段OD=OC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在点M,使得△CDM是以CD为直角边的直角三角形?若存在,请求出M点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,连接QE.若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点的移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:设抛物线的解析式为 ,
将C(0,1)代入得: ,
解得: ,
∴抛物线的解析式为: 即
(2)解: ①如图1,当点C为直角顶点时,
∵点C的坐标为(0,1),
∴OD=OC=1,
∴点D的坐标为(1,0),
设直线CD为 ,则: ,解答 ,
∴直线CD的解析式为: ,
∵此时CM⊥CD,
∴CM的解析式为: ,
由: ,解得: , ,
∵点(0,1)与点C重合,
∴点M的坐标为(2,3),此时点M与点Q重合;
②如图②,当D为直角顶点时,由①可得直线DM的解析式为 ,
由: ,解得: , ,
∴点M的坐标为为 或 ;
综上所述,符合题意的M有三点,分别是(2 , 3 ), 或 .
(3)解:存在.如图③所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.
如答图④所示,连接C′E,
由(2)可知,QC⊥CD, 由题意可得:QC=QE,
∵∠DCE=45°,
∴∠QCE=45°=∠QEC,
∴△QCE是等腰直角三角形,
∵C,C′关于直线QE对称,
∴△QC′E为等腰直角三角形,
∴△CEC′为等腰直角三角形,
∵在抛物线 中,由 解得 ,
∴点E的坐标为(4,1),
∴CE=4=C′E,
∴点C′的坐标为(4,5);
∵C,C″关于x轴对称,
∴点C″的坐标为(0,﹣1).
∴OC″=1,
过点C′作C′N⊥y轴于点N,则NC′=CE=4,NC″=4+1+1=6,
在Rt△C′NC″中,由勾股定理得:C′C″= .
综上所述,在P点和F点移动过程中,△PCF的周长存在最小值,最小值为 .
【解析】(1)解析式可设为顶点式,再把C(0,1)代入解析式即可;(2)以CD为直角边的直角三角形分为两类,分别以C、D为直角顶点,可过C、D分别作CD的垂线,与抛物线相交,联立直线和抛物线解析式组成方程组,可求出M坐标;(3)可利用对称法作出C关于定直线QE的对称点C',关于y轴对称点为C",把△PCF的周长转化为FC"+FP+PC',当C"、F、P、C'四点共线时,周长最小.
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【题目】如图, 在□ABCD中,点E、F是AD、BC的中点,连接BE、DF.
(1)求证:BE=DF.
(2)若BE平分∠ABC且交边AD于点E,AB=6cm,BC=10cm,试求线段DE的长.
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【题目】平面直角坐标系中,已知点A(0,10),点P(m,10),连接AP、OP,将△AOP沿直线OP翻折得到△EOP(点A的对应点为点E).若点E到x轴的距离不大于6,则m的取值范围是_____.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且经A(1,0)、B(0,﹣3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上,是否存在点M,使它到点A的距离与到点B的距离之和最小,如果存在求出点M的坐标,如果不存在请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别为AB,AC边上的中点,连接DE,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,连接AF,AC.
(1)求证:四边形ADCF是菱形;
(2)若BC=8,AC=6,求四边形ABCF的周长.
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【题目】一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ).
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
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【题目】我们知道对于一个图形,通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式.
例如:由图1可得到(a+b)=a+2ab+b.
图1 图2 图3
(1)写出由图2所表示的数学等式:_____________________;写出由图3所表示的数学等式:_____________________;
(2)利用上述结论,解决下面问题:已知a+b+c=11,bc+ac+ab=38,求a+b+c的值.
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【题目】阅读与应用:
阅读1:a、b为实数,且a>0,b>0,因为 ,所以 ,从而 (当a=b时取等号).
阅读2:函数 (常数m>0,x>0),由阅读1结论可知: ,所以当 即 时,函数 的最小值为 .
阅读理解上述内容,解答下列问题:
(1)问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为 ,周长为 ,求当x=时,周长的最小值为 .
(2)问题2:已知函数y1=x+1(x>-1)与函数y2=x2+2x+17(x>-1),当x=时, 的最小值为 .
(3)问题3:某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分:一是教职工工资6400元;二是学生生活费每人10元;三是其他费用.其中,其他费用与学生人数的平方成正比,比例系数为0.01.当学校学生人数为多少时,该校每天生均投入最低?最低费用是多少元?(生均投入=支出总费用÷学生人数)
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