【题目】如图1，已知AB＝8，直线l与AB平行，且l与AB的距离为4，P是l上的动点，过点P作PC ⊥AB，垂足为C，点C不与A，B重合，过A，C，P三点作⊙O.
（1）若⊙O与线段PB交于点D，∠PAD＝22.5°，则∠APB等于多少度？
（2）如图2，⊙O与线段PB的一个公共点为D，一条直径垂直AB于点E，且与AD交于点M.
①若ME＝
，求AE的长；
②当ME的长度最大时，判断直线PB与⊙O的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）67.5°；（2）①
或
，②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．
【解析】（1）利用圆周角定理的推论，由∠ACP=90°，可证AP是⊙O的直径，即可得出∠PDA=90°，利用三角形内角和公式即可得出答案；
（2）①先证△MEA∽△BCP，再由相似的性质得出
＝
，即可求出AE的长；
②设AE＝x，由①中比例式 ＝建立关于x的二次函数，利用最值即可求出ME的最大长，再利用三角形中位线定理即可得出结论.
（1）∵PC⊥AB，
∴∠ACP=90°，
∴AP是⊙O的直径，
∴∠PDA=90°，
∴∠APD=90°-∠PAD=90°-22.5°=67.5°.
（2）①连接AP，由PC ⊥AB得AP是直径，从而AD⊥PB，∠BAD+∠B＝90°，
又∠BPC+∠B＝90°，
即∠EAM＝∠CPB，
∴△MEA∽△BCP
∵ OE⊥AB，又∵OA＝OC，
∴AE＝EC．
设AE＝x，则BC＝8－2x．
由 ＝，得
，
化简得25x2－100x+64＝0，
解得x1=，x2=，
即AE＝或
②当ME的长度最大时，直线PB与该圆相切．
由①设AE＝x，则BC＝8－2x．
由 ＝,可得ME＝－
（x－2）2＋2．
∵ x＞0，8－2x＞0，
∴ 0＜x＜4．
又∵ －
＜0，
∴当x＝2时，ME的长度最大为2．
当ME＝2时，AE＝EC＝2，
即AC＝4；BC＝4，
由∠ACP=90°得AP为直径；
又AC＝PC＝BC＝4，
得∠APB=45°+45°＝90°
直线PB与该圆相切
名校练考卷期末冲刺卷系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】已知：如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（ 1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为E． 求△ODE的面积；抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短。若存在请求出P点的坐标，若不存在说明理由。
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】甲、乙两家文化用品商场平时以同样价格出售相同的商品.六一期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品一律按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折.
（1）分别写出两家商场购物金额
（元）与商品原价
（元）的函数解析式；
（2）在如图所示的直角坐标系中画出（1）中函数的图象；
（3）六一期间如何选择这两家商场购物更省钱？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某企业500名员工参加安全生产知识测试，成绩记为A，B，C，D，E共5个等级，为了解本次测试的成绩（等级）情况，现从中随机抽取部分员工的成绩（等级），统计整理并制作了如下的统计图：
（1）求这次抽样调查的样本容量，并补全图①；
（2）如果测试成绩（等级）为A，B，C级的定为优秀，请估计该企业参加本次安全生产知识测试成绩（等级）达到优秀的员工的总人数．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图
，已知
，
且
、
满足等式
，射线
从
处绕点
以
度秒的速度逆时针旋转．
（1）试求∠AOB的度数．
（2）如图，当射线从处绕点开始逆时针旋转，同时射线
从
处以度/秒的速度绕点顺时针旋转，当他们旋转多少秒时，使得
？
（3）如图
，若射线
为
的平分线，当射线从处绕点开始逆时针旋转，同时射线
从射线处以
度秒的速度绕点顺时针旋转，使得这两条射线重合于射线
处（在
的内部）时，且
，试求．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的2个白球 ，a个红球．
（1）若从中任意摸出1个球，“是白球”的概率为
，则a＝_____．
（2）在（1）的条件下，从中任意摸出2个球 ，求“两个球的颜色相同”的概率．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨.采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%.该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A. 450a元 B. 225a元 C. 150a元 D. 300a元
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【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．
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