Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．

①若点G为DE中点，求FG的长．

②若DG=GF，求BC的长．

（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①FG =2；②BC=12；（2）等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．

【解析】（1）①只要证明△ACF∽△GEF，推出，即可解决问题；②如图1中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；

（2）分四种情形：①如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，

③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题；

（1）①在正方形ACDE中，DG=GE=6，

中Rt△AEG中，AG=，

∵EG∥AC，

∴△ACF∽△GEF，

∴，

∴，

∴FG=AG=2．

②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，

∵EF=EF，

∴△AEF≌△DEF，

∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，

∵AE∥BC，

∴∠B=∠1=x，

∵GF=GD，

∴∠3=∠2=x，

在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，

∴x+（x+90°）+x=180°，

解得x=30°，

∴∠B=30°，

∴在Rt△ABC中，BC=．

（2）在Rt△ABC中，AB==15，

如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，

∵DG∥AC，

∴△BDG∽△BCA，

设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，

∴GF=GD=4x，则AF=15-9x，

∵AE∥CB，

∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴，

整理得：x2-6x+5=0，

解得x=1或5（舍弃）

∴腰长GD为=4x=4．

如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，

∴FG=DG=12+4x，

∵AE∥BC，

∴△AEF∽△BCF，

∴，

∴，

解得x=2或-2（舍弃），

∴腰长DG=4x+12=20．

如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，

∴FH=GH=DGcos∠DGB=（4x+12）×=，

∴GF=2GH=，

∴AF=GF-AG=，

∵AC∥DG，

∴△ACF∽△GEF，

∴

∴，

解得x=或-（舍弃），

∴腰长GD=4x+12=，

如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．

设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x-12，

∴FH=GH=DGcos∠DGB=，

∴FG=2FH=，

∴AF=AG-FG=，

∵AC∥EG，

∴△ACF∽△GEF，

∴，

∴，解得x=或-（舍弃），

∴腰长DG=4x-12=，

综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或或．