Question

11．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE=CD，AD、CE相交于点F．
（1）求∠AFC的度数；
（2）延长CE至点P，连接BP，如图2，∠BPC=30°，且CF=$\frac{2}{9}$CP，求$\frac{PF}{AF}$的值？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质求出AC=BC，∠ABC=∠ACB=60°，根据SAS推出△EBC≌△DCA，求出∠BCE=∠DAC，根据三角形外角性质求出∠AFC=∠BAC+∠B，代入求出即可；
（2）在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，求出△AFK为等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠KAF=60°，求出∠KAB=∠FAC，根据SAS推出△ABK≌△AFC，求出∠AKB=∠AFC=120°，∠BKE=60°，根据三角形外角性质和等腰三角形判定求出PK=BK，推出FP=CK，设CP=9a，CF=2a，FP=7a，求出AF=5a，代入求出即可．

解答 解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
在△EBC和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠ABC=∠ACB}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△DCA（SAS），
∴∠BCE=∠DAC，
∵∠BCE+∠ACE=60°，
∴∠DAC+∠ACE=60°，
∴∠AFE=60°，
∴∠AFC=∠BAD+∠AEC=∠BAD+∠B+∠BCE=60°+∠CAD+∠BAD=60°+60°=120°；

（2）在PF上取一点K使得KF=AF，连接AK、BK，

∵∠AFK=60°，AF=KF，
∴△AFK为等边三角形，
∴∠KAF=60°，
∴∠KAB=∠FAC，
在△ABK和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠KAB=∠FAC}\\{AK=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABK≌△AFC（SAS），
∴∠AKB=∠AFC=120°，
∴∠BKE=120°-60°=60°，
∵∠BPC=30°，
∴∠PBK=30°，
∴FP=CK，
∴PK=CK，
∵FP=FK+PK
∴FP=AF+CF，
∵CF=$\frac{2}{\begin{array}{l}9\end{array}}$CP，
设CP=9a，
∵CF=2a，
∴FP=7a，
∴AF=5a，
∴$\frac{PF}{\begin{array}{l}AF\end{array}}$=$\frac{7a}{5a}$=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能综合阴影性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．