如图.点A是反比例函数y1=$\frac{2}{x}$图象上的任意一点.过点A作 AB∥x轴.交另一个比例函数y2=$\frac{k}{x}$的图象于点B．(1)若S△AOB的面积等于3.则k是=-4,(2)当k=-8时.若点A的横坐标是1.求∠AOB的度数,(3)若不论点A在何处.反比例函数y2=$\frac{k}{x}$图象上总存在一点D.使得四边形AOBD为平行四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，点A是反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上的任意一点，过点A作 AB∥x轴，交另一个比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）的图象于点B．
（1）若S_△AOB的面积等于3，则k是=-4；
（2）当k=-8时，若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；
（3）若不论点A在何处，反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．

分析（1）首先设AB交y轴于点C，由点A是反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上的任意一点，AB∥x轴，可求得△AOC的面积，又由△AOB的面积等于3，即可求得△BOC的面积，继而求得k的值；
（2）由点A的横坐标是1，可求得点A的坐标，继而求得点B的纵坐标，则可求得点B的坐标，则可求得AB，OA，OB的长，然后由勾股定理的逆定理，求得∠AOB的度数；
（3）假设y₂=$\frac{k}{x}$上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，由四边形AOBD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，利用AAS得到三角形AOC与三角形DBE全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=OC，DE=AC，设A（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），即OC=a，AC=$\frac{2}{a}$，得出D与B纵坐标，进而表示出D与B横坐标，两横坐标之差的绝对值即为BE的长，利用等式，即可求出k的值．

解答解：（1）如图1，设AB交y轴于点C，
∵点A是反比例函数y₁=$\frac{2}{x}$（x＞0）图象上的任意一点，且AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵S_△AOB=3，
∴S_△BOC=2，
∴k=-4；
故答案为：-4；

（2）∵点A的横坐标是1，
∴y=$\frac{2}{1}$=2，
∴点A（1，2），
∵AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为2，
∴2=-$\frac{8}{x}$，
解得：x=-4，
∴点B（-4，2），
∴AB=AC+BC=1+4=5，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OA²+OB²=AB²，
∴∠AOB=90°；

（3）解：假设y₂=$\frac{k}{x}$上有一点D，使四边形AOBD为平行四边形，
过D作DE⊥AB，过A作AC⊥x轴，
∵四边形AOBD为平行四边形，
∴BD=OA，BD∥OA，
∴∠DBA=∠OAB=∠AOC，
在△AOC和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBE=∠AOC}\\{∠DEB=∠ACO=90°}\\{DB=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△DBE（AAS），
设A（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），即OC=a，AC=$\frac{2}{a}$，
∴BE=OC=a，DE=AC=$\frac{2}{a}$，
∴D纵坐标为$\frac{4}{a}$，B纵坐标为$\frac{2}{a}$，
∴D横坐标为$\frac{ak}{4}$，B横坐标为$\frac{ak}{2}$，
∴BE=|$\frac{ak}{4}$-$\frac{ak}{2}$|=a，即-$\frac{ak}{4}$=a，
∴k=-4．

点评此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的系数k的几何意义、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意第（3）问中，设A（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），再分别表示出各点的坐标是关键．

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