Question

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果x₁、x₂满足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m为负整数，求出m的值，并解出方程的根．
（友情提示：若一元二次方程ax²+bx+c=0有两根x₁、x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

）

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-2）²-4×2×（m-1）≥0，然后解不等式；
（2）先根据根与系数的关系得x₁+x₂=1，x₁•x₂=

m+1

2

，把7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²变形得7+6x₁•x₂＞（x₁+x₂）²，所以7+6×

m+1

2

＞1，解得m＞-3，于是得到m的取值范围-3＜m≤-

1

2

，由于m为负整数，所以m=-2或m=-1，然后把m的值分别代入原方程，再解方程．

解答：解：（1）根据题意得△=（-2）²-4×2×（m-1）≥0，
解得m≤-

1

2

；
（2）根据题意得x₁+x₂=1，x₁•x₂=

m+1

2

，
∵7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，
∴7+6x₁•x₂＞（x₁+x₂）²，
∴7+6×

m+1

2

＞1，解得m＞-3，
∴-3＜m≤-

1

2

，
∵m为负整数，
∴m=-2或m=-1，
当m=-2时，方程变形为2x²-2x-1=0，解得x₁=

1+ 3

2

，x₂=

1- 3

2

；
当m=-1时，方程变形为x²-x=0，解得x₁=1，x₂=0．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．