Question

19．如图，已知△ABC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线．
（1）求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$；
（2）若BD=3，CD=2，求CE长．

Answer 1

分析 （1）过E作EM⊥AC于M，过E作EN⊥AF于F，由AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线．得到EM=EN，根据三角形的面积公式得到S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EN，S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC•EM，$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{CE}{BE}$，于是得到$\frac{\frac{1}{2}AB•EN}{\frac{1}{2}AC•EM}$=$\frac{CE}{BE}$，化简即可得到结论；
（2）由AD是∠BAC的平分线，根据角平分线定理得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，等量代换得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$=$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{2}$，于是解得结果．

解答 （1）证明：过E作EM⊥AC于M，过E作EN⊥AF于F，
∵AE是∠BAC的外角∠FAC的平分线．
∴EM=EN，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EN，S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC•EM，
∵$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}AB•EN}{\frac{1}{2}AC•EM}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$；

（2）解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
由（1）证得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CE}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$=$\frac{BD}{CD}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{5+CE}{CE}$=$\frac{3}{2}$，
解得：CE=10．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，角平分线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．