Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值可得出抛物线的解析式，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可确定顶点的坐标；
（2）令y=0，求出x的值，可确定点B的坐标，然后由点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式；
（3）由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P₁，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P₂，P₃，作CE垂直于对称轴于点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（4）设出E点的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+2），就可以表示出F的坐标，进而求出EF的长，由△CBP的面积=S_△CEF+S_△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质可求出答案．

解答 解：（1）∵抛物线经过A（-1，0），C（0，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴抛物线的顶点坐标为$（\frac{3}{2}，\frac{25}{8}）$；
（2）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，由B、C两点坐标，可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（3）如图1，∵抛物线的顶点坐标为$（\frac{3}{2}，\frac{25}{8}）$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
∵C（0，2），
∴OC=2，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP₁=DP₂=DP₃=CD．
作CM⊥对称轴于M，
∴MP₁=MD=2，
∴DP₁=4，
∴点P₁（$\frac{3}{2}$，4），P₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）P₃（$\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$）；
（4）如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，-$\frac{1}{2}$a+2），
则F（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
∴EF=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤a≤4），
∵S_△CBP=S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN=-a²+4a=-（a-2）²+4，
∴当a=2时，△CBF的面积最大，为4，
∴E（2，1）．

点评 本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式是解题的关键，解题时要注意数形结合思想的应用．