Question

15．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，$\frac{OA}{BA}$=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；
（2）根据（1）中的结论，再根据锐角三角函数和三角形相似的知识即可求出圆的半径长．

解答 （1）证明：连接OE，
∵AC与圆O相切，
∴OE⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$BF，
又∵OE=$\frac{1}{2}$BD，
∴BF=BD；
（2）解：设OA=3x，则AB=5x，BO=2x，
∴BD=4x，
∵CF=1，BD=BF，
∴BC=4x-1，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∵$\frac{OA}{BA}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{3}{5}$，
即$\frac{2x}{4x-1}=\frac{3}{5}$，
解得，x=1.5，
∴2x=3，
即⊙O的半径是3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、锐角三角函数的定义、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和锐角三角函数解答本题．