Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a：b=3：4，a+b=c+4．
（1）求a、b长；
（2）若D是AB上的定点，以BD为直径的⊙O恰好切AC于点E，求⊙O的半径r；
（3）若⊙O的圆心O是AB上的动点，求⊙O的半径r在怎样的取值范围内，能使⊙O与AC相切，且与BC所在直线相交？

Answer 1

解：（1）设a=3k，b=4k．
根据勾股定理，得c=5k．
又a+b=c+4，
3k+4k=5k+4，
k=2．
则a=6，b=8．

（2）连接OE，得到OE⊥AC．
则OE∥BC．
∴，即，r=．

（3）设⊙O和AC，BC相切于点M，N．
连接OM，ON．
设此时圆的半径是r，OB=x．
∵OM∥BC，
∴．
即．
∵ON∥AC，
∴．
即，
解得r=．
又BC=6，
所以＜r＜6．
分析：（1）根据a：b=3：4，设a=3k，b=4k．根据勾股定理，得c=5k；再根据a+b=c+4，求得k的值，从而求得a，b的长；
（2）连接OE，得到OE⊥AC．根据OE∥BC，得到相似三角形，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（3）此题首先可以求得圆和AC，BC相切时，确定r的最小值，再进一步根据BC的长确定r的最大值．
点评：此题综合运用了切线的性质和相似三角形的判定和性质．