Question

1．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，点O是AB边上的中点．

（1）OC=1，S_△ABC=1；
（2）如图2，把△AOC绕着点O按顺时针旋转60°至△A′OC′的位置，求四边形A′C′CB的面积；
（3）如图3，把△AOC绕着点O按顺时针旋转任意角度，你认为在以点A'、B、C、C′为顶点的多边形中，面积是否存在最大值？如果存在，请求出最大面积；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC是等腰直角三角形，可得AB=2，再根据点O是AB边上的中点，可得CO⊥AB，CO=$\frac{1}{2}$AB=1，即可得出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CO=$\frac{1}{2}$×2×1=1；
（2）过O作OE⊥CC'于E，作OF⊥BA'于F，根据四边形A′C′CB的面积=△BOC的面积+△A'OC'的面积+△COC'的面积+△A'OB的面积，进行计算即可；
（3）过点C'作C'D⊥CO于D，则C'D≤C'O=1，当点D与点O重合时，C'D有最大值1，此时∠COC'=90°，∠A'OB=90°，进而得出△COC'的面积最大值为：$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，同理可得，△A'OB的面积最大值为$\frac{1}{2}$，而△BOC的面积=△A'OC'的面积=$\frac{1}{2}$，据此可得以点A、B、C、C′为顶点的多边形中，面积存在最大值．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2，
又∵点O是AB边上的中点，
∴CO⊥AB，CO=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×CO=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
故答案为：1，1；

（2）由旋转可得，CO=C'O，∠COC'=60°，
∴△COC'是等边三角形，∠A'OB=120°，
∴CC'=OC=OB=1，
如图2，过O作OE⊥CC'于E，作OF⊥BA'于F，
∴Rt△CEO中，CE=$\frac{1}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
Rt△BOF中，OF=$\frac{1}{2}$，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故A'B=$\sqrt{3}$，
四边形A′C′CB的面积
=△BOC的面积+△A'OC'的面积+△COC'的面积+△A'OB的面积
=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（3）以点A'、B、C、C′为顶点的多边形中，面积存在最大值．
如图3，过点C'作C'D⊥CO于D，则C'D≤C'O=1，
∴当点D与点O重合时，C'D有最大值1，
此时∠COC'=90°，∠A'OB=90°，
∴△COC'的面积最大值为：$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
同理可得，△A'OB的面积最大值为$\frac{1}{2}$，
而△BOC的面积=△A'OC'的面积=$\frac{1}{2}$，
∴四边形A'BCC'的面积最大值为：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=2．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质以及三角形的面积计算公式的运用，解决问题的关键是掌握等腰直角三角形的性质．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．