Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BE=DF；AE⊥BD，CF⊥BD，对角线AC、BD相交于点O，

求证：AO=CO．

Answer 1

【答案】证明见解析．

【解析】

由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，BE=DF，在直角三角形中利用HL可证得：△ABE≌△CDF，由此可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．

解：证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°．

∵AB=CD，BE=DF，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）．

∴AE=CF．

又∵∠AEB=∠CFD=90°，

∴AE∥CF．

∴四边形AECF是平行四边形．

∴AO=CO（平行四边形的对角线互相平分）．