Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）当点D在线段OC上时（不与点O、C重合），则线段CF与OD之间的关系为　 　；

（2）当点D在线段OC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；

（3）设D点坐标为（t，0），当D点从O点运动到C点时，用含t的代数式表示E点坐标，求出E点所满足的函数关系式，并写出E点所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1）相等； 垂直；（2）成立，理由见解析；（3）E点坐标为（t+1，t-1），；E点所经过的路径长为

【解析】

（1）连接CF，通过同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF，由正方形性质可得AD=AF，再由已知OA=OC易证得两三角形全等，而OD=CF；由△ODA≌△CFA，所以∠FCA=∠DOA，即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO，得到∠FCO=90°；
（2）按题目要求构造正方形ADEF，连接CF，利用（1）的方法证明，结论易得；
（3）分为t＜1，t=1，t＞1三种情况讨论．分别讨论利用全等三角形的判定和性质易得结论．根据点E的坐标可以分析出点运动的轨迹，即可求解．

（1）连接CF，如图：

∵∠OAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠OAC=∠DAF，
∴∠OAD=∠OAC-∠CAD=∠DAF-∠CAD=∠CAF，
在△OAD和△CAF中，

，

∴△OAD≌△CAF，
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC，
在Rt△OAC中，
∵∠OCA+∠AOC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OD⊥CF，
故答案：相等； 垂直；

（2）结论依然成立，即OD=CF，OD⊥CF，理由如下：

如图，连接CF．
∵∠OAC=90°，∠DAF=90°，
∴∠OAC=∠DAF，
∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF，
在△OAD和△CAF中，

，

∴△OAD≌△CAF，
∴OD=CF，∠AOD=∠ACF，
∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC，
在Rt△OAC中，
∵∠OCA+∠AOC=90°，
∴∠OCF=90°，
∴OD⊥CF；

（3）过点A作AG⊥x轴于G，过点E作EH⊥x轴于H，
∵OA=CA，且∠OAC=90°，
∴OG=CG=AG，
∵A的坐标为（1，1），
∴OG=AG=1，OC=2，
当D在线段OG上，如图，此时t＜1，则DG=1-t，

∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠HDE=90°，
∴∠DAG=∠HDE，
在△ADG和△DEH中，

，

∴△ADG≌△DEH，
∵OD= t，
∴HE=DG=1-t，DH=AG=1，
∴OH=OD+DH=t+1，
∴E点坐标为（t+1，-（1-t）），即（t+1，t-1）；
当D与G点重合，E点与C点重合，即E点坐标为（2，0），

此时t=1，所以E点坐标也为（t+1，t-1）；
当D在线段GC上，如图，此时t＞1，则DG=t-1，

∵∠ADE=90°，
∴∠ADG+∠EDH=90°，

∵∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠DAG=∠EDH，
在△ADG和△DEH中，

，

∴△ADG≌△DEH，

∵OD= t，
∴HE=DG=t-1，DH=AG=1，
∴OH=OD+DH=t+1，
∴E点坐标为（t+1，t-1），
综上所述，E点坐标为（t+1，t-1），；

当t=0时，点E的坐标为（1，-1），

当t=2时，点E的坐标为（3，1），

猜想点E在线段上运动，

设直线的解析式为，

把（1，-1），（3，1）代入得：，

解得：，

∴，

∵点E（t+1，t-1）在上，且，

∴点E在线段上运动，猜想正确，

∴E点由（1，-1）直线运动到（3，1），

∴线段，

∴E点所经过的路径长为．