Question

如图，点P是正方形ABCD内的一点，若PA＝a，PB＝2a，PC＝3a(a＞0)．求：

(1)∠APB的度数；

(2)正方形的边长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)将△APB绕点B顺时针旋转得到△CQB，连PQ、AC，则 　　△CQB≌△APB． 　　∵∠PBQ＝∠PBC＋∠CBQ＝∠PBC＋∠PBA＝， 　　PB＝QB＝2a， 　　∴∠PQB＝∠BPQ＝，PQ＝2a． 　　在△PQC中， 　　PC＝3a，QC＝PA＝a，PQ＝2a， 　　∴PC2＝CQ2＋PQ2． 　　∴∠PQC＝． 　　∴∠APB＝∠CQB＝∠PQB＋∠PQC＝． 　　(2)由(1)得 　　∠APB＋∠BPQ＝＋＝， 　　∴A、P、Q三点共线． 　　∴AQ＝AP＋PQ＝a＋2a＝(2＋1)a． 　　在Rt△AQC中， 　　AC＝ 　　＝ 　　＝a·． 　　∴正方形ABCD的边长为 　　AB＝＝＝a·．

提示：

点悟：题目中已知长度的三条线段位于三个不同的三角中，为使其集中起来，可考虑采用旋转的方式． 　　点拨：一般地，在问题中若含有相等的线段和角，或含有一些特殊角(如等边三角形、正方形等)时，常利用旋转变换，将已知的条件集中到一起，实现相对集中的原则．