Question

12．在△ABC中，∠ABC=45°，BD⊥AC于D，AD=3，DC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 把△ABD沿AB为对称轴翻折成为△ABG，△BCD沿BC为对称轴翻折成为△BCE，延长EB、GA相交于点F，根据轴对称的性质可以证明四边形BEFG是正方形，设BD=x，用x表示出AF、CF，在Rt△ACF中，根据勾股定理列式进行计算即可求出x的值，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：如图，把△BCD沿BC为对称轴翻折成为△BCE，△BDA沿AB为对称轴翻折成为△ABG，延长EC、GA相交于点F，
则△CBD≌△CBE，△BAD≌△BAG，
所以，BG=BD=BE，∠BEC=∠BGA=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBG=90°，
∴四边形BEFG是正方形，
∵AD=3，DC=2，
∴AC=AD+CD=3+2=5，
设BD=x，则CF=EF-CE=x-2，AF=FG-AG=x-3，
在Rt△ACF中，根据勾股定理，AF²+CF²=AC²，
即（x-3）²+（x-2）²=5²，
整理得，x²-5x-6=0，
解得x₁=-1（舍去），x₂=6，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×5×6=15．

点评 本题考查了正方形的判定与性质，轴对称的性质，以及勾股定理的应用，根据∠ABC=45°轴对称图形，构造出正方形并得到Rt△ACF是解题的关键，也是本题的难点．