Question

2．已知（如图1）在等腰梯形ABCD中，AB=CD，AD∥BC∥x轴，S_ABCD=18k²（k＞0），点D（8k，-$\frac{3}{2}$k）在直线l：y=-kx+n上，动点P沿A-B-C-D以2个单位长度/秒速度移动，在P点移动过程中，△ADP的面积S与P点移动的时间t（秒）之间的函数关系如图2所示，过A、B、D三点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点是P
（1）判断A、O、B三点是否在同一直线上？并说明理由；
（2）点B、P两点在直线CD的同旁吗？请说明理由；
（3）若直线l与线段BP有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象得BC=2k，由S_△ABD=15k²，${S}_{梯形ABCD}=1{8k}^{2}$，得A，B坐标，得 AB解析式，得出结论；
（2）根据A，B，C坐标得抛物线的解析式易得P点坐标，由C，D坐标得直线CD解析式，当x=3k时，y=$\frac{9}{4}$k，易得P在CD同旁，梯形ABCD为等腰梯形，
得B在CD同旁，得出结论；
（3）由点D坐标易得直线l的解析式，因为直线l与线段BP有交点，得不等式组解得k的取值范围．

解答 解：（1）在一条直线上；
由图2可得BC=2k，
∵S_△ABD=15k²，${S}_{梯形ABCD}=1{8k}^{2}$，
∴A（-2k，-$\frac{3}{2}$k），B（2k，$\frac{3}{2}k$），
求得直线AB的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x，
∴A、O、B三点在同一直线上．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+C过A（-2k，-$\frac{3}{2}$k），B（2k，$\frac{3}{2}k$），D（8k，-$\frac{3}{2}$k），
∴抛物线解析式为：y=$\frac{1}{8}$kx²+$\frac{3}{4}kx$+$\frac{1}{2}$k，
∴P（3k，$\frac{13}{8}k$），
∵B（2k，$\frac{3}{2}k$），BC=2k，
∴C（4k，$\frac{3}{2}$k），
∴直线CD的解析式为：y=$-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}k$，
当x=3k时，y=$\frac{9}{4}$k，
$\frac{9}{4}k$＞$\frac{13}{8}k$，
∴P在CD同旁，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴B在CD同旁，
即B、P两点在直线CD的同旁；

（3）∵点D（8k，-$\frac{3}{2}$k）在直线l：y=-kx+n上，
把D（8k，-$\frac{3}{2}$k）代入y=-kx+n得：n=8k²-$\frac{3}{2}$k，
∴直线解析式为：y=-kx+8k²$-\frac{3}{2}$k，
∵直线l与线段BP有交点，
∴得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-{2k}^{2}+{8k}^{2}-\frac{3}{2}k≥\frac{3}{2}k}\\{-{3k}^{2}+{8k}^{2}-\frac{3}{2}k≤\frac{13}{8}k}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}≤k≤\frac{5}{8}$．

点评 本题主要考查了二次函数的有关知识，善于将函数问题转化为方程问题，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合是解这类问题关键．