Question

14．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC=2，BD=1，AP=x，△CMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 △CMN的面积=$\frac{1}{2}$CP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出CP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2．

解答 解：（1）当0＜x≤1时，如图1，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴$\frac{AP}{AO}=\frac{MN}{BD}$，
即$\frac{x}{1}=\frac{MN}{1}$，
∴MN=x，
∴y=$\frac{1}{2}$CP×MN=$\frac{1}{2}$$（2-x）x=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x$（0＜x≤1），
∵-$\frac{1}{2}$＜0，∴函数图象开口向下；
（2）当1＜x＜2，如图2，

同理证得，△CDB∽△CNM，
$\frac{CP}{OC}=\frac{MN}{BD}$，
即$\frac{2-x}{1}=\frac{MN}{1}$，
∴MN=2-x，
∴y=$\frac{1}{2}$CP×MN=$\frac{1}{2}$（2-x）×（2-x）=$\frac{1}{2}（2-x）^{2}=\frac{1}{2}（x-2）^{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴函数图象开口向上；
综上，答案A的图象大致符合；
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．