Question

19．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6cm，AC=12cm．动点P从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为t（单位：s），正方形和梯形重合部分的面积为Scm²．

（1）当t=3s时，点P与点Q重合；
（2）当t=2.4s时，点D在QF上；
（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻，使得正方形APDE的面积被直线QF平分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据路程÷速度=时间，用AB的长度除以动点P和动点Q的速度和，求出当t等于多少s时，点P与点Q重合即可；
（2）当点D在QF上时，根据tan∠DQP=tan∠CBA=$\frac{AC}{AB}=\frac{12}{6}=2$，求出PQ、AP的关系，进而求出动点P运的路程是多少；然后根据路程÷速度=时间，用动点P运动的路程除以动点P的速度，求出当t等于多少s时，点D在QF上即可；
（3）首先判断出点E与点F重合时，t=4；然后分两种情况讨论：①当3≤t≤4时；②当4＜t＜6时；求出S与t之间的函数关系式即可；
（4）根据（3），可得3＜t≤4时，当正方形和梯形重合部分的面积为正方形的面积的一半时，正方形APDE的面积被直线QF平分，据此解答即可．

解答 解：（1）6÷（1+1）
=6÷2
=3（s）．
所以当t=3s时，点P与点Q重合．

（2）∵QF∥BC，
∴tan∠DQP=tan∠CBA=$\frac{AC}{AB}=\frac{12}{6}=2$，
∴PQ=0.5DP=0.5AP，
6÷（1+1+0.5）÷1
=6÷2.5÷1
=2.4（s），
所以当t=2.4s时，点D在QF上．

（3）如图①，当点D在BC上时，
，
根据四边形APDE是正方形，可得DP∥AC，
∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{DP}{CA}$，
∴$\frac{PB}{DP}=\frac{AB}{CA}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}DP=\frac{1}{2}t$，
由AP+PB=AB，可得t+$\frac{1}{2}t=6$，
解得t=4，
此时，点E与点F重合．
①当3＜t≤4时，
如图②，设DE交FQ于点H，则重合部分为梯形DHQP，
，
PQ=AP+QB-AB=t+t-6=2t-6，
过点Q作QG⊥DE于点G，
则DG=PQ=2t-6；
由△HGQ∽△BAC，可得HG=$\frac{t}{2}$，
∴HD=HG+GD=$\frac{1}{2}t+2t-6$=$\frac{5}{2}t-6$，
∴S=$\frac{1}{2}（PQ+HD）•DP$=$\frac{1}{2}（2t-6+\frac{5}{2}t-6）$t=${\frac{9}{4}t}^{2}-6t$，
由题意，得当t=6时，点P到达B，
②当4＜t＜6时，
如图③，设DE交BC于点M，DP交BC于点N，
，
则重合部分为六边形EFQPNM，
由△FAQ∽△CAB，可得AF=12-2t，
∴${S}_{△FAQ}=\frac{1}{2}AQ•AF=\frac{1}{2}（6-t）（12-2t）$=（6-t）²，
由△NPB∽△CAB，可得PN=12-2t，
∴DN=DP-NP=t-（12-2t）=3t-12，
由△DMN∽△ABC，可得DM=$\frac{1}{2}（3t-12）$，
∴${S}_{△DMN}=\frac{1}{2}DM•DN$
=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（3t-12）×（3t-12）$
=${\frac{1}{4}（3t-12）}^{2}$
∴S=S_{正方形APDE}-S_△DMN-S_△FAQ
=${t}^{2}-{\frac{1}{4}（3t-12）}^{2}{-（6-t）}^{2}$
=$-{\frac{9}{4}t}^{2}+30t-72$
综上，可得S=$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{9}{4}t}^{2}-6t，（3＜t≤4）}\\{-{\frac{9}{4}t}^{2}+30t-72，（4＜t＜6）}\end{array}\right.$．

（4）根据（3），可得3＜t≤4时，
令${\frac{9}{4}t}^{2}-6t={\frac{1}{2}t}^{2}$，
则${\frac{7}{4}t}^{2}-6t=0$，
解得t=3$\frac{3}{7}$，
∵3＜3$\frac{3}{7}＜4$，
∴当t=3$\frac{3}{7}$s时，正方形APDE的面积被直线QF平分．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了函数解析式的求法，考查了分析推理能力、空间想象能力的应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．