Question

9．自然数n小于2012，并且满足等式[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+[$\frac{n}{6}$]=n，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]=3，[0.6]=0，这样的n共有336个．

Answer 1

分析 由[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+[$\frac{n}{6}$]=n，[x]表示不超过x的最大整数，即[x]≤x，知x是6的倍数，自然数n小于2012，所以这样的正整数有[$\frac{2012}{6}$]=335个，但自然数n包括0，0也满足条件，故这样的n共有336个．

解答 解：∵[$\frac{n}{2}$]+[$\frac{n}{3}$]+[$\frac{n}{6}$]=n，
若x不是整数，则[x]＜x，
∴$\frac{n}{2}$，$\frac{n}{3}$，$\frac{n}{6}$，即n是6的倍数，
小于2012正整数共有[$\frac{2012}{6}$]=335个，
但自然数n包括0，0也满足条件，
∴这样的n共有336个，
故答案为：336．

点评 本题主要考查了取整函数的意义以及数的整除性，理解题意，不可忽视自然数0是解答此题的关键．