Question

13．如图，矩形ABCD中，动点P从点A出发，沿线段AB以每秒2cm的速度向点B运动：同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒1cm的速度向点C运动．当点P到达B点时，点Q同时停止，设运动时间为t秒．已知AD=6，且t=2时，PQ=2$\sqrt{5}$．
（1）AB=8；
（2）连接DQ并延长交AB的延长线于点E，把DE沿DC翻折交BC延长线于点F，连接EF．
①当DP⊥DF时，求t的值；
②试证明，在运动过程中，△DEF的面积是定值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得出PB的长，再得出AP的长，进而得出AB的长度即可；
（2）①首先证明△ADP∽△CDF，根据相似三角形的性质可得$\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{CF}$，进而得到$\frac{6}{8}=\frac{2t}{6-t}$，解出t即可；
②由△EBQ∽△EAD，得$\frac{BE}{AE}=\frac{BQ}{AD}$，进而得到BE=$\frac{8t}{6-t}$，再根据三角形的面积公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵AD=6，且t=2时，PQ=2$\sqrt{5}$，
∵动点P从点A出发，沿线段AB以每秒2cm的速度向点B运动：同时动点Q从点B出发，沿线段BC以每秒1cm的速度向点C运动，
∴AP=2×2=4，BQ=2×1=2，
∴在Rt△BPQ中，BP=$\sqrt{P{Q}^{2}-B{Q}^{2}}=\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}=4$，
∴AB=AP+PB=4+4=8，
故答案为：8；
（2）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∵DP⊥DF，
∴∠ADP=∠CDF，
∴△ADP∽△CDF，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{AP}{CF}$，
∵AD=6，AP=2t，CD=8，CF=CQ=6-t，
∴$\frac{6}{8}=\frac{2t}{6-t}$，
解得t=$\frac{18}{11}$；
②定值，理由如下：
∵△EBQ∽△EAD，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{BQ}{AD}$，即$\frac{BE}{BE+8}=\frac{t}{6}$，
解得BE=$\frac{8t}{6-t}$，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$×QF×（DC+BE）=$\frac{1}{2}$×2（6-t）×（8+$\frac{8t}{6-t}$）=48，
∴△DEF的面积为48．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形相似的方法和相似三角形的性质，再利用三角形的面积公式进行计算．